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Ejemplos de problemas de aplicación con composición de funciones (funciones compuestas)

 

4. Ejemplos de problemas de aplicación con composición de funciones (funciones compuestas).


    1. Un estudio de impacto ambiental realizado para la ciudad de Oxnard indica que, conforme a las reglas de protección ambiental, el nivel de monóxido de carbono (CO) presente en el aire debido a la contaminación producida por los escapes de los automóviles será de 0.01x2/3 partes por millón cuando el número de vehículos de motor es de x miles. Un estudio aparte realizado por una agencia de gobierno estatal estima dentro de t años el número de vehículos de motor en Oxnard será de 0.2t 2 + 4t + 64miles.

          a. Determine una expresión para la concentración de CO en el aire debido a los escapes de los automóviles dentro de t años.

            b. ¿Cuál será el nivel de concentración dentro de 5 años?


    Solución.

         a.      El nivel de CO presente en el aire debido a la contaminación producida por los escapes de los automóviles está descrito por la función g(x) = 0.01x2/3, donde x es el número (en miles) de vehículos de motor.

Pero el número de vehículos de motor x (en miles) dentro de t años puede ser estimado     por la regla f(t) = 0.2t 2 +4t + 64.

Por consiguiente, la concentración de CO debido los escapes de los automóviles dentro de  t años es

 C(t) = ( g ∘ f )(t) =  g( f(t)) = 0.01(0.2t 2 + 4t +64) 2/3  partes por millón.


           b.      El nivel de concentración dentro de 5 años será

              C(5) = 0.01(0.2(5)2 +4(5) + 64]2/3

          = (0.01)892/3 =  0.20 o aproximadamente 0.20 partes por millón.




    2.   El gasto en asistencia médica por persona realizado por el sector privado incluye pagos de    individuos, corporaciones y sus compañías de seguros es aproximadamente f(t)=2.48t2+18.47t

+509 (0 ≤ t ≤ 6), donde f(t) está en dólares y t en años, con t = 0 correspondiente al    inicio de 1994. El gasto del gobierno correspondiente incluidos gastos de Medicaid, Medicare y otra asistencia médica pública federal, estatal y local es g(t)= -1.12t 2 + 29.09t + 429 (0≤t ≤6), donde el significado de t es el mismo de antes.

    a. Encuentre una función que dé la diferencia entre el gasto en asistencia médica realizado por el gobierno y el sector privado por persona en cualquier momento t.

    b. ¿Cuál fue la diferencia entre los gastos del gobierno y el sector privado por persona a principios de 1995? ¿A principios de 2000?


Solución.

    a.    La diferencia entre los gastos en atención médica por persona realizados por el sector privado y el gobierno, en cualquier momento t, está dada por la función d con la regla

d(t) = f(t) - g(t) = (2.48t2 + 18.47t + 509)

        =- (-1.12t2 + 29.09t + 429 )

        = 3.6t2 - 10.62t + 80


    b.     La diferencia entre los gastos en atención médica por persona realizados por el sector privado y el gobierno a principios de 1995 está dada por

d(1) = 3.6(1)2 - 10.62(1) +80 

o $72.98/persona.

             La diferencia entre los gastos realizados por el sector privado y el gobierno por persona a principios de 2000 está dada por

d(6) = 3.6(6)2 - 10.62(6) + 80 

o $145.88/persona.


     3.  El calzado Cáceres tiene un ingreso mensual I obtenido por vender zapatos modelo ejecutivo, es un función de demanda x de mercado véase que, como una función del precio p por par de zapatos el ingreso mensual y la demanda son I=600p -3p2  y  x= 600 - 3p ¿Cómo depende I de x?


            Solución.

            Si I= f(p) y P= g(x), I puede expresarse como una función de x por medio de la composición 

        I= ( f °g)(x)= f(g((x))

    La función f(p) está dada por I= f(p) 600p -3p2  

    Resolvemos la relación de demanda para obtener g(x); x= 600-3p, así expresamos p como

función x.

p=

    Sustituimos este valor de p en I

   I= 600- 3p2

     =200x+0.33x2



Referencias Bibliográficas


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