La composición de funciones.

1. La composición de funciones.

La composición de funciones tiene como finalidad evaluar un mismo valor de la variable independiente (x) en dos funciones o más de manera seguida, dando como resultado una función compuesta.

Definición 1.1. Dadas dos funciones f y g. Sea x en el dominio de g de tal manera que g(x) pertenezca al dominio de f. Entonces la función compuesta f ° g (la cual se lee f compuesta con g) se define por:

( f ° g)(x) = f (g(x))

Y el dominio de f ° g es el conjunto de todos los números x del dominio g tales que g(x) está en el dominio de f.

Por ejemplo.

Sean f(x) = x² + 1 y g(x)= determine las reglas para las funciones compuestas g ° f (g compuesta con f) y f ° g (f compuesta con g)

a. Para determinar la regla para la función compuesta g ° f , evaluamos la función g con f(x). Obtenemos

(g ° f)(x) = (g( f(x))=

b. Para determinar la regla para la función compuesta f ° g, evaluamos la función con g(x). Obtenemos:

(f ° g)(x) = (f (g(x))= (g(x))² - 1=

1.2 Elementos:

Una función compuesta se constituye de dos funciones. Por ejemplo

Siendo f y g dos funciones, se define la composición de dos funciones (denotada por g o f) como:

Como toda función, una función compuesta contiene un dominio, y se define de la siguiente manera:

En la definición 1.1 se indica que cuando se calcula (f ° g) (x), primero se aplica g a x y después se aplica f a g(x). La función g asigna el valor g(x) al número x del dominio de g. La función f asigna el valor f(g(x)) al número g(x) del dominio de f. El contradominio de g será un subconjunto de f y el contradominio de f ° g será un subconjunto del contradominio de f.

Resumiendo esto, nos queda que:

El dominio en una composición de funciones f(g(x)) son todos los valores que pertenecen al dominio de g( x) (primera función que aplicamos) siempre que la imagen de g (x) pertenezca a su vez al dominio de f (x) (segunda función que aplicamos).

Ejemplo:

Si f y g están definidas por f(x) =y g(x)= 2x-3

Entonces

(f ° g) (x)= f(g(x))

= f(2x-3)

El dominio de g es (-∞, +∞) y el dominio de f es [0, +∞). Por tanto el dominio de f ° g es el conjunto de números reales x para los cuales 2x-3 ≥ 0 o, equivalentemente, .

1.3. Notación Funcional.

Es una simbología utilizada para representar brevemente una función, se expresa de la siguiente manera

y =w (x)

Donde:

w representa la regla de correspondencia de la función.

x indica el dominio de la función w, o bien, a la variable independiente.

w (x) representa al recorrido de la función w, indica los valores de la variable dependiente.

Entonces, en estos términos, el significado de f(g(x)), como se nombró anteriormente, es que el dominio de la función resultante es un subconjunto, propio o impropio, del dominio de la función g , y que su recorrido es un subconjunto propio o impropio de la función f .

1.4. Propiedades.

La composición de funciones es asociativa